Tema 7: Teoría de la Probabilidad

 

1.       Teoria de la Probabilidad

La teoría de la probabilidad es una herramienta matemática que establece un conjunto de reglas o principios útiles para calcular la ocurrencia o no ocurrencia de fenómenos aleatorios y procesos estocásticos.

Un proceso estocástico es un conjunto de variables aleatorias que depende de un parámetro o de un argumento. En el análisis de series temporales, ese parámetro es el tiempo. Formalmente, se define como una familia de variables aleatorias Y indiciadas por el tiempo, t. Tales que para cada valor de t, Y tiene una distribución de probabilidad dada.

2.       El concepto de probabilidad

En cualquier caso, sin desviarnos del concepto de teoría de la probabilidad, diremos que está formada por un conjunto de técnicas que nos permiten asignar un número a la posibilidad de que un evento ocurra.

Así, en el caso de una moneda, sabemos que al tirarla sobre un tablero el resultado puede ser cara o cruz. Suponiendo que la moneda y el tablero son perfectos y que las condiciones de lanzamiento no cambian, la probabilidad debe ser de 50% cara y 50% cruz.

En este punto nace el concepto de probabilidad. La probabilidad es un número entre 0 y 1, habitualmente expresado en % entre 0 y 100 que nos dice en cuántas ocasiones, de media, ocurrirá un suceso cada 100 veces.

Con esto en mente, llegamos a la conclusión, de que la teoría de la probabilidad se encarga de estudiar qué número entre 0 y 1 debemos asignar a un determinado suceso. 

3.       Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es una prueba que consiste en repetir un fenómeno aleatorio con el objetivo de analizarlo y extraer conclusiones sobre su comportamiento.

De la propia definición de experimento aleatorio, así como de la definición de fenómeno aleatorio, deducimos que se trata del estudio de situaciones dominadas por las leyes del azar.

4.       Tipos de experimentos

•       Experimentos determinísticos: Son aquellos que se pueden predecir con exactitud.

•       Experimentos aleatorios: Se trata de aquellos experimentos cuyo resultado es incierto.

5.       Suceso, espacio muestral, tipos de suceso - Probabilidad de un suceso.

5.1. Espacio muestral

•       El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio y se suele representar como E (o bien como omega, Ω, del alfabeto griego).

•       Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda, ¿cuáles son todos los posibles resultados que podemos obtener? Que salga cara o cruz, ¿verdad? En total son dos posibles resultados, por lo que el espacio muestral tiene 2 elementos.

•       E = {cara, cruz}

•       Y si lanzamos un dado, tenemos en total 6 posibles resultados que pueden salir. Por lo tanto el espacio muestral sería de 6 elementos.

•       E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

 

5.2. Suceso

Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, “sacar cara” en el lanzamiento de una moneda, “sacar el número 5” o “sacar un número primo” en el lanzamiento de un dado son sucesos.

5.2.1.       Tipos de Sucesos

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Ejemplo

Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.

 

Suceso compuesto

 

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

 

Ejemplo

 

Tirando un dado un suceso sería que saliera par.

Suceso seguro

E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

 Ejemplo

Tirando un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

 

Suceso imposible

 

Suceso imposible, ∅, es el que no tiene ningún elemento.

 

Ejemplo

Tirando un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

 

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

 

Ejemplo

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles

 

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

 

Ejemplo

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

Sucesos Independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido, o no, B.

 

Ejemplo

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

 

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido, o no, B.

 

Ejemplo

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

 

Suceso contrario

 

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por \overline{A} .

 

Ejemplo

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

 

6.       Probabilidad condicional e Independiente       

Miraremos la forma en que cambia la probabilidad de un suceso A cuando se sabe que otro suceso B ha ocurrido.

A esta probabilidad se le denomina la probabilidad condicional del suceso A dado que el suceso B ha ocurrido.

 

La notación para esta probabilidad condicional es P(A|B). Por conveniencia, esta notación se lee simplemente como la probabilidad condicional de A dado B.

 

Entonces, sean A y B dos sucesos cualesquiera de un mismo espacio muestral E, tales que P(B)> 0, así:

1.       Probabilidad condicional para sucesos independientes

 

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido, o no, B.

 

Por ejemplo, Si tiramos dos veces una moneda, el segundo resultado que obtenemos no está influenciado por el primer resultado obtenido.

 

 

2.       Probabilidad condicional para sucesos independientes

 

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido, o no, B.

 

 

 

https://economipedia.com/definiciones/teoria-de-la-probabilidad.html

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/tipos-de-sucesos.html