Tema 2: Proporcionalidad y Regla de Tres en la Administración

Parte 1: Principios de proporcionalidad en la administración

1. Concepto de razón y proporción

Una razón es la comparación entre dos cantidades mediante una división. Se expresa como a:b o a/b.

Una proporción es la igualdad entre dos razones: a/b = c/d

En administración usamos razones constantemente sin llamarlas así: la razón entre horas-hombre y unidades producidas, entre costo y volumen de compra, entre personal y ventas generadas.

Ejemplo aplicado:

Si una máquina produce 150 unidades en 5 horas, la razón producción/tiempo es:

150 / 5 = 30 unidades/hora

Esta razón (30 unidades/hora) es la que nos permite proyectar cuánto se producirá en 8 horas, en 12 horas, etc. — y ahí es donde entra la proporción.

 

2. Diferencias entre proporcionalidad directa e inversa

Proporcionalidad directa:

Cuando una magnitud aumenta, la otra aumenta en la misma proporción (y si una disminuye, la otra también). La razón entre ambas se mantiene constante.

a / b = c / d   (a mayor a, mayor c)

Ejemplo aplicado:

Si 4 trabajadores producen 200 unidades al día, ¿cuántas unidades producirán 7 trabajadores (mismo ritmo)? A más trabajadores, más producción → relación directa.

 

Proporcionalidad inversa:

Cuando una magnitud aumenta, la otra disminuye (el producto entre ambas se mantiene constante).

a × b = c × d

Ejemplo aplicado:

Si 4 trabajadores terminan un pedido en 12 días, ¿en cuántos días lo terminarán 6 trabajadores? A más trabajadores, menos días → relación inversa.

 

Tabla resumen para el aula:

Situación administrativa	Tipo de relación
Más horas trabajadas → más unidades producidas	Directa
Más máquinas trabajando → menos tiempo de producción	Inversa
Más unidades compradas → mayor costo total	Directa
Más personal asignado a una tarea → menos días para terminarla	Inversa
Mayor precio de venta unitario (a ingreso fijo) → menos unidades vendidas necesarias	Inversa

 

3. Aplicaciones administrativas: precios, costos y tiempos de producción

Caso precios (directa):

Un proveedor cobra S/ 850 por 50 unidades de un insumo. ¿Cuánto costarán 130 unidades, si el precio unitario se mantiene?

850 / 50 = x / 130  →  x = (850 × 130) / 50 = S/ 2,210

Caso tiempos de producción (inversa):

Una línea de ensamblaje con 3 máquinas termina un lote en 10 horas. Si se agregan 2 máquinas más (5 en total, mismo rendimiento cada una), ¿en cuánto tiempo terminarán el mismo lote?

3 × 10 = 5 × x  →  x = 30 / 5 = 6 horas

Interpretación gerencial: Este tipo de cálculo es la base para decidir si conviene invertir en más maquinaria o personal para cumplir un plazo de entrega.

 

Parte 2: Regla de tres simple

1. Estructura de la regla de tres simple directa e inversa

Regla de tres simple directa:

a / b = c / x  →  x = (b × c) / a

Regla de tres simple inversa:

a × b = c × x  →  x = (a × b) / c

 

2. Procedimiento paso a paso para resolver problemas

•      Identificar las dos magnitudes involucradas.

•      Determinar si la relación es directa o inversa (preguntarse: si una sube, ¿la otra sube o baja?).

•      Ordenar los datos conocidos y la incógnita en la estructura correspondiente.

•      Aplicar la fórmula (multiplicación cruzada para directa, producto igualado para inversa).

•      Verificar que el resultado tenga sentido lógico en el contexto del problema.

 

3. Ejercicios de aplicación en compras y control de inventario

Ejercicio 1 — Compras (directa):

Una empresa compra 25 laptops a S/ 42,500 en total. Para una nueva sucursal necesita cotizar 60 laptops del mismo modelo. ¿Cuál sería el costo total estimado?

25 / 42,500 = 60 / x  →  x = (42,500 × 60) / 25 = S/ 102,000

Paso a paso:

•      Magnitudes: cantidad de laptops y costo total → relación directa (más laptops, más costo)

•      x = S/ 102,000

 

Ejercicio 2 — Control de inventario (inversa):

Un almacén tiene stock para abastecer a 8 tiendas durante 15 días. Si la cadena crece a 12 tiendas (mismo consumo por tienda), ¿para cuántos días alcanzará el mismo stock?

8 × 15 = 12 × x  →  x = 120 / 12 = 10 días

Interpretación: El gerente de logística sabe que, al abrir nuevas tiendas, debe reabastecer con 5 días de anticipación respecto al ciclo anterior si quiere evitar quiebres de stock.

 

Parte 3: Regla de tres compuesta

1. Concepto de magnitudes compuestas

La regla de tres compuesta se usa cuando intervienen tres o más magnitudes relacionadas entre sí, y cada una puede tener una relación directa o inversa respecto a la incógnita. Es una extensión natural de la regla de tres simple — muy común en administración porque los problemas reales rara vez dependen de una sola variable (producción depende de trabajadores Y horas Y días, por ejemplo).

Estructura general:

(a1/a2) × (b1/b2) × ... = c1/x

donde cada razón se invierte si su relación con la incógnita es inversa.

 

2. Resolución de problemas con múltiples variables

Ejemplo aplicado (producción con 3 variables):

6 operarios, trabajando 8 horas diarias, producen 480 unidades en 5 días. Si la empresa contrata 4 operarios más (10 en total) y quiere producir 960 unidades trabajando 10 horas diarias, ¿en cuántos días lo logrará?

Paso a paso:

Operarios	Horas/día	Unidades	Días
6	8	480	5
10	10	960	x

 

Analizamos cada magnitud respecto a los días (x):

•      Operarios vs. días: inversa (más operarios, menos días) → se invierte: 10/6

•      Horas/día vs. días: inversa (más horas al día, menos días) → se invierte: 10/8

•      Unidades vs. días: directa (más unidades a producir, más días) → se mantiene: 960/480

x = 5 × (6/10) × (8/10) × (960/480)

x = 5 × 0.6 × 0.8 × 2 = 4.8 días

Interpretación gerencial: Con el personal y horario ampliados, la empresa cumplirá la meta de producción en aproximadamente 4.8 días (redondeando, 5 días considerando jornadas completas) — información clave para comprometerse con un plazo de entrega ante un cliente.

 

Propuesta de caso práctico integrador

Caso: “Textiles del Sur E.I.R.L.”

Combina las tres partes del tema:

•      Un ejercicio de proporcionalidad directa/inversa para identificar el tipo de relación en distintos escenarios de la empresa.

•      Un problema de regla de tres simple sobre compra de insumos (directa) y otro sobre reabastecimiento de inventario (inversa).

•      Un problema de regla de tres compuesta sobre planificación de producción con operarios, horas y unidades — similar al caso resuelto de logística.